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神奇的卫星轨道 卫星轨道微分方程： 卫星运动中的有心力是保守力，机械能守恒定律成立.因此，我们可以采用总能量来讨论卫星轨道的具体形式.在平方反比引力问题中，力$F(r)$的具体形式已知. 因为有心力是保守力，故一定存在势能$V$，有$$F=- \nabla V(1)$$$$V= \int-F(r)dr=\int \frac{k^2m}{r^2}dr(2)$$ (2)式中$k^2=Gm_地$是一个与卫星无关而只和地球有关的量，$r$为卫星和地球之间的距离， $m$为卫星质量.取无穷远处的势能为零，则得质点在距力心为$r$时的引力势能为：$$V(r)=\int_{0}^{r} \frac{k^2m}{r^2}dr=-\frac{k^2m}{r}(3)$$ 我们在研究有心力问题时，如图1所示，通常将机械能守恒定律和动量矩守恒定律结合起来.常用如下两个方程作为基本方程：$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta^2})+V(r)=E(4)$$$$r^2 \dot{\theta}=h(5)$$ 式子中$h$是常数 联立$(3)$和$(4)$式可得：$$\frac{1}{2}m\left( \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right) -\frac{k^2m}{r}=E(6)$$ 为了消去$(6)$式中的$dt$ ，我们先做如下变换：$$\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}(7)$$ 将$(5)$带入$(7)$可得：$$ \dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}=\frac{h}{r^2}\frac{dr}{d\theta}(8) $$ 将$(6)和(8)$联立可得：$$ \frac{1}{2}m\left[ \frac{h^2}{r^4}\left( \frac{dr}{d\theta} \right) ^2+\frac{h^2}{r^2}-\frac{2k^2}{r} \right] =E(9) $$ 解出$\frac{dr}{d\theta}$ ，并分离变量并积分可得：$$ \mathrm{arc}\sin \frac{2k^2r-2h^2}{r\sqrt{4k^4+\frac{8Eh^2}{m}}}=\theta +\frac{3}{2}\pi -\theta _0(10) $$$$ r=\frac{h^2/k^2}{1+\sqrt{1+2h^2E/k^4m}\left[ \cos \left( \theta -\theta _0 \right) \right]}(11) $$ 已知极坐标系的标准圆锥曲线方程为：$$ r=\frac{p}{1+e\cos \theta}(12) $$ 令$p=\frac{h^2}{k^2}$ ，$e=\sqrt{1+\frac{2E}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2}$，所以可以将式$(11)$改写成$(12)$式的形式.由式$(12)$可知，因为$\frac{2}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2$的值恒为正，所以总能量 决定了卫星轨道的形状. 下面我们分类讨论：$E<0$ ，则 $e<1$,轨道为椭圆；$E=0$ ，则 $e=1$,轨道为抛物线；$E>0$ ，则 $e>1$,轨道为双曲线.数值模拟1、圆轨道2、椭圆轨道3、抛物线轨道3、双曲线轨道
