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2022-06-22
神奇的卫星轨道
卫星轨道微分方程: 卫星运动中的有心力是保守力,机械能守恒定律成立.因此,我们可以采用总能量来讨论卫星轨道的具体形式.在平方反比引力问题中,力$F(r)$的具体形式已知. 因为有心力是保守力,故一定存在势能$V$,有$$F=- \nabla V(1)$$$$V= \int-F(r)dr=\int \frac{k^2m}{r^2}dr(2)$$ (2)式中$k^2=Gm_地$是一个与卫星无关而只和地球有关的量,$r$为卫星和地球之间的距离, $m$为卫星质量.取无穷远处的势能为零,则得质点在距力心为$r$时的引力势能为:$$V(r)=\int_{0}^{r} \frac{k^2m}{r^2}dr=-\frac{k^2m}{r}(3)$$ 我们在研究有心力问题时,如图1所示,通常将机械能守恒定律和动量矩守恒定律结合起来.常用如下两个方程作为基本方程:$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta^2})+V(r)=E(4)$$$$r^2 \dot{\theta}=h(5)$$ 式子中$h$是常数 联立$(3)$和$(4)$式可得:$$\frac{1}{2}m\left( \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right) -\frac{k^2m}{r}=E(6)$$ 为了消去$(6)$式中的$dt$ ,我们先做如下变换:$$\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}(7)$$ 将$(5)$带入$(7)$可得:$$ \dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}=\frac{h}{r^2}\frac{dr}{d\theta}(8) $$ 将$(6)和(8)$联立可得:$$ \frac{1}{2}m\left[ \frac{h^2}{r^4}\left( \frac{dr}{d\theta} \right) ^2+\frac{h^2}{r^2}-\frac{2k^2}{r} \right] =E(9) $$ 解出$\frac{dr}{d\theta}$ ,并分离变量并积分可得:$$ \mathrm{arc}\sin \frac{2k^2r-2h^2}{r\sqrt{4k^4+\frac{8Eh^2}{m}}}=\theta +\frac{3}{2}\pi -\theta _0(10) $$$$ r=\frac{h^2/k^2}{1+\sqrt{1+2h^2E/k^4m}\left[ \cos \left( \theta -\theta _0 \right) \right]}(11) $$ 已知极坐标系的标准圆锥曲线方程为:$$ r=\frac{p}{1+e\cos \theta}(12) $$ 令$p=\frac{h^2}{k^2}$ ,$e=\sqrt{1+\frac{2E}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2}$,所以可以将式$(11)$改写成$(12)$式的形式.由式$(12)$可知,因为$\frac{2}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2$的值恒为正,所以总能量 决定了卫星轨道的形状. 下面我们分类讨论:$E<0$ ,则 $e<1$,轨道为椭圆;$E=0$ ,则 $e=1$,轨道为抛物线;$E>0$ ,则 $e>1$,轨道为双曲线.数值模拟1、圆轨道2、椭圆轨道3、抛物线轨道3、双曲线轨道
2022年06月22日
402 阅读
0 评论
7 点赞
2022-02-24
波干涉相消时的演示程序
此程序用来演示演示波的干涉相消现象,动画比较直观。
2022年02月24日
350 阅读
0 评论
0 点赞
2022-02-24
波干涉相长时的演示程序
此程序用来演示干涉相长现象。
2022年02月24日
370 阅读
1 评论
0 点赞
2022-02-24
好玩的双球摆
双球摆背景 双摆是将一根单摆连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同,是一种具有混沌性质的简单动力系统。程序演示{alert type="info"}下方程序可进行拖动操作,拖动右下角可以调成程序大小{/alert}代码g = 9.8; size = 0.03; L = 0.25; k = 100000; m = 0.1; theta = 30 * pi/180 Fg = m*vector(0,-g,0) def SpringForce(r,L): return -k*(mag(r)-L)*r/mag(r) scene = canvas(width=300, height=300, center=vector(0, -L*0.8, 0), range=1,background=vector(0.5,0.6,0.4)) ceiling = box(length=0.1, height=0.005, width=0.1, opacity = 0.6) ball1 = sphere(radius = size, color=color.red, make_trail = True) ball2 = sphere(radius = size, color=color.green, make_trail = True) rod1 = cylinder(radius=size/10) rod2 = cylinder(radius=size/10) ball1.pos = vector(L, 0, 0) ball2.pos = vector(2*L, 0, 0) rod1.pos = vector(0, 0, 0) rod2.pos = vector(L, 0, 0) ball2.v=vector(0,0,0) ball1.v=vector(0,0,0) dt = 0.0001 t = 0.0 while t<2: rate(1000) t=t+dt rod2.pos = ball1.pos rod1.axis = ball1.pos rod2.axis = ball2.pos - ball1.pos F1 = vector(0, -m*g, 0) + SpringForce(rod1.axis,L) - SpringForce(rod2.axis,L) F2 = vector(0, -m*g, 0) + SpringForce(rod2.axis,L) ball1.v += F1/m*dt ball1.pos += ball1.v*dt ball2.v += F2/m*dt ball2.pos += ball2.v*dt
2022年02月24日
172 阅读
0 评论
2 点赞
2022-02-24
vpython制作电磁波动画
网上的电磁波图片,一般是静态的,本文尝试用vpython制作电磁波传播的动画
2022年02月24日
376 阅读
0 评论
0 点赞
2022-02-08
漂亮的包络面
经典物理情景 当一个小物体被抛出去之后,其轨迹会形成特殊的形状。抛体运动分为:平抛运动、斜抛运动、竖直抛体运动。平抛和斜抛运动的轨迹会形成包络线和包络面。程序演示{alert type="info"}下方程序可进行拖动操作,拖动右下角可以调成程序大小{/alert}动图演示斜抛包络线斜上抛包络面平抛包络面斜下抛包络面程序源码g = 9.8; size =0.3; height = 0; m = 1; theta= 3*pi/180; v0=10 scene = canvas(width=300, height=300,x=0, y=0, center = vector(0,0,0), background=vector(0.5,0.6,0.5),range=12) floor = box(pos=vector(0,size,0),length=24, height=0.07, width=3, color=color.cyan) ball = sphere(pos=vector(0,size,0),radius = size, color=color.yellow, make_trail= True,trail_type="points", interval=10) Fg = vector(0, -m*g, 0) ball.a=Fg/m ball.v = vector(v0*cos(theta), v0*sin(theta), 0) gd1 = graph(title = "R-theta", width=300, height=300, xtitle="theta", ytitle="R") f1 = gcurve(color=color.red) gd2 = graph(title = "T-theta", width=300, height=300, xtitle="theta", ytitle="T") f2 = gcurve(color=color.blue) t=0.0; dt=0.0001 while True: rate(100000) t += dt ball.v += ball.a*dt ball.pos += ball.v*dt if ball.pos.y <= size: f1.plot(pos=(theta*180/pi,ball.pos.x)) f2.plot(pos=(theta*180/pi,t)) t=0 theta += 3 * pi/180 if theta>pi: break ball.pos = vector(0, size, 0) ball.v = vector(v0*cos(theta), v0*sin(theta), 0)
2022年02月08日
546 阅读
0 评论
2 点赞
2022-01-31
机械振动模型
机械振动的演示
2022年01月31日
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2022-01-28
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2022-01-25
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2022年01月25日
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2022-01-23
经典问题——地球中心通道里面物体的简谐运动
1、经典问题假设从地球中间挖出一个通道,一物体无初速度静止释放,该物体会做什么样的运动:程序说明灰色箭头为程序辅助线,可以忽略。从程序中我们可以看到小球无初速度释放之后做简谐运动。从模拟结果我们可以得到,球壳对称分布物体也是在做简谐运动。vpython程序演示
2022年01月23日
578 阅读
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