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神奇的卫星轨道 卫星轨道微分方程： 卫星运动中的有心力是保守力，机械能守恒定律成立.因此，我们可以采用总能量来讨论卫星轨道的具体形式.在平方反比引力问题中，力$F(r)$的具体形式已知. 因为有心力是保守力，故一定存在势能$V$，有$$F=- \nabla V(1)$$$$V= \int-F(r)dr=\int \frac{k^2m}{r^2}dr(2)$$ (2)式中$k^2=Gm_地$是一个与卫星无关而只和地球有关的量，$r$为卫星和地球之间的距离， $m$为卫星质量.取无穷远处的势能为零，则得质点在距力心为$r$时的引力势能为：$$V(r)=\int_{0}^{r} \frac{k^2m}{r^2}dr=-\frac{k^2m}{r}(3)$$ 我们在研究有心力问题时，如图1所示，通常将机械能守恒定律和动量矩守恒定律结合起来.常用如下两个方程作为基本方程：$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta^2})+V(r)=E(4)$$$$r^2 \dot{\theta}=h(5)$$ 式子中$h$是常数 联立$(3)$和$(4)$式可得：$$\frac{1}{2}m\left( \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right) -\frac{k^2m}{r}=E(6)$$ 为了消去$(6)$式中的$dt$ ，我们先做如下变换：$$\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}(7)$$ 将$(5)$带入$(7)$可得：$$ \dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}=\frac{h}{r^2}\frac{dr}{d\theta}(8) $$ 将$(6)和(8)$联立可得：$$ \frac{1}{2}m\left[ \frac{h^2}{r^4}\left( \frac{dr}{d\theta} \right) ^2+\frac{h^2}{r^2}-\frac{2k^2}{r} \right] =E(9) $$ 解出$\frac{dr}{d\theta}$ ，并分离变量并积分可得：$$ \mathrm{arc}\sin \frac{2k^2r-2h^2}{r\sqrt{4k^4+\frac{8Eh^2}{m}}}=\theta +\frac{3}{2}\pi -\theta _0(10) $$$$ r=\frac{h^2/k^2}{1+\sqrt{1+2h^2E/k^4m}\left[ \cos \left( \theta -\theta _0 \right) \right]}(11) $$ 已知极坐标系的标准圆锥曲线方程为：$$ r=\frac{p}{1+e\cos \theta}(12) $$ 令$p=\frac{h^2}{k^2}$ ，$e=\sqrt{1+\frac{2E}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2}$，所以可以将式$(11)$改写成$(12)$式的形式.由式$(12)$可知，因为$\frac{2}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2$的值恒为正，所以总能量 决定了卫星轨道的形状. 下面我们分类讨论：$E<0$ ，则 $e<1$,轨道为椭圆；$E=0$ ，则 $e=1$,轨道为抛物线；$E>0$ ，则 $e>1$,轨道为双曲线.数值模拟1、圆轨道2、椭圆轨道3、抛物线轨道3、双曲线轨道 -
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好玩的双球摆 双球摆背景 双摆是将一根单摆连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同，是一种具有混沌性质的简单动力系统。程序演示{alert type="info"}下方程序可进行拖动操作，拖动右下角可以调成程序大小{/alert}代码g = 9.8; size = 0.03; L = 0.25; k = 100000; m = 0.1; theta = 30 * pi/180 Fg = m*vector(0,-g,0) def SpringForce(r,L): return -k*(mag(r)-L)*r/mag(r) scene = canvas(width=300, height=300, center=vector(0, -L*0.8, 0), range=1,background=vector(0.5,0.6,0.4)) ceiling = box(length=0.1, height=0.005, width=0.1, opacity = 0.6) ball1 = sphere(radius = size, color=color.red, make_trail = True) ball2 = sphere(radius = size, color=color.green, make_trail = True) rod1 = cylinder(radius=size/10) rod2 = cylinder(radius=size/10) ball1.pos = vector(L, 0, 0) ball2.pos = vector(2*L, 0, 0) rod1.pos = vector(0, 0, 0) rod2.pos = vector(L, 0, 0) ball2.v=vector(0,0,0) ball1.v=vector(0,0,0) dt = 0.0001 t = 0.0 while t<2: rate(1000) t=t+dt rod2.pos = ball1.pos rod1.axis = ball1.pos rod2.axis = ball2.pos - ball1.pos F1 = vector(0, -m*g, 0) + SpringForce(rod1.axis,L) - SpringForce(rod2.axis,L) F2 = vector(0, -m*g, 0) + SpringForce(rod2.axis,L) ball1.v += F1/m*dt ball1.pos += ball1.v*dt ball2.v += F2/m*dt ball2.pos += ball2.v*dt
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漂亮的包络面 经典物理情景 当一个小物体被抛出去之后，其轨迹会形成特殊的形状。抛体运动分为：平抛运动、斜抛运动、竖直抛体运动。平抛和斜抛运动的轨迹会形成包络线和包络面。程序演示{alert type="info"}下方程序可进行拖动操作，拖动右下角可以调成程序大小{/alert}动图演示斜抛包络线斜上抛包络面平抛包络面斜下抛包络面程序源码g = 9.8; size =0.3; height = 0; m = 1; theta= 3*pi/180; v0=10 scene = canvas(width=300, height=300,x=0, y=0, center = vector(0,0,0), background=vector(0.5,0.6,0.5),range=12) floor = box(pos=vector(0,size,0),length=24, height=0.07, width=3, color=color.cyan) ball = sphere(pos=vector(0,size,0),radius = size, color=color.yellow, make_trail= True,trail_type="points", interval=10) Fg = vector(0, -m*g, 0) ball.a=Fg/m ball.v = vector(v0*cos(theta), v0*sin(theta), 0) gd1 = graph(title = "R-theta", width=300, height=300, xtitle="theta", ytitle="R") f1 = gcurve(color=color.red) gd2 = graph(title = "T-theta", width=300, height=300, xtitle="theta", ytitle="T") f2 = gcurve(color=color.blue) t=0.0; dt=0.0001 while True: rate(100000) t += dt ball.v += ball.a*dt ball.pos += ball.v*dt if ball.pos.y <= size: f1.plot(pos=(theta*180/pi,ball.pos.x)) f2.plot(pos=(theta*180/pi,t)) t=0 theta += 3 * pi/180 if theta>pi: break ball.pos = vector(0, size, 0) ball.v = vector(v0*cos(theta), v0*sin(theta), 0)
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